第107章 一题多解！秦风的数学才情惊艳考场！[2/2页]

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    烈的“不可测”的感觉。

    nbsp而秦风，在写完第一种巧妙解法后，并没有停歇。他舔了舔有些发干的嘴唇，眼神中的光芒更盛了。

    nbsp“还不够……这种程度的‘变形，还不足以展现这道题的全部魅力。”

    nbsp他的目光，投向了更深邃的数学领域。

    nbsp第二种巧妙解法：引入抽象代数——幺半群与理想的视角

    nbsp秦风的笔尖再次在草稿纸上舞动起来，这一次，他写下的符号，开始变得更加抽象和……诡异。

    nbsp他将集合nbspSSSnbsp视为自然数加法半群nbsp(N+,+)(\mathbb{N}+,nbsp+)(N+,+)nbsp的一个子半群。

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    nbsp“如果我们将0也加入考虑，并定义nbspS0=S∪{0}S_0nbsp=nbspSnbsp\cupnbsp\{0\}S0=S∪{0}（如果nbsp0nbspotinnbspS），或者直接考虑），或者直接考虑nbsp），或者直接考虑S在自然数加法幺半群在自然数加法幺半群在自然数加法幺半群(\mathbb{N}_0,nbsp+nbsp中的性质。”秦风在草稿纸上写道。

    nbsp“条件1保证了nbspSSS（或nbspS0S_0S0）在加法运算下的封闭性。条件2则给出了这个子半群的一个‘下界。”

    nbsp“现在，考虑在整数环nbspZ\mathbb{Z}Znbsp中，由集合nbspSSSnbsp生成的理想nbspI(S)={∑i=1mcisi∣si∈S,ci∈Z}I(S)nbsp=nbsp\{nbsp\sum_{i=1}mnbspc_inbsps_inbsp|nbsps_inbsp\innbspS,nbspc_inbsp\innbsp\mathbb{Z}nbsp\}I(S)={∑i=1mcisi∣si∈S,ci∈Z}。”

    nbsp“由于nbspZ\mathbb{Z}Znbsp是主理想整环，所以nbspI(S)I(S)I(S)nbsp必然可以由一个元素生成，即nbspI(S)=(d0)I(S)nbsp=nbsp(d_0)I(S)=(d0)，其中nbspd0=gcd?(S)d_0nbsp=nbsp\gcd(S)d0=gcd(S)。”

    nbsp“这说明，SSSnbsp中所有元素的最大公约数nbspd0d_0d0，可以表示为nbspSSSnbsp中元素的整数线性组合。”

    nbsp“接下来，我们需要将这个结论与nbspSSSnbsp本身的加法封闭性以及正整数下界联系起来。”

    nbsp秦风的思路开始转向一个在大学代数学中才会详细讨论的概念——数值半群（NumericalnbspSemigroup）。一个数值半群是由一组正整数在加法下生成的，且其最大公约数为1的半群。着名的FrobeniusnbspCoinnbspProblem就是研究这类半群的一个经典问题。

    nbsp“如果nbspgcd?(S)=d\gcd(S)nbsp=nbspdgcd(S)=d，那么我们可以考虑集合nbspS/d={s/d∣s∈S}S/dnbsp=nbsp\{s/dnbsp|nbspsnbsp\innbspS\}S/d={s/d∣s∈S}。这个新的集合，其元素的最大公约数为1，并且仍然满足加法封闭性。根据数值半群的理论，一个最大公约数为1的加法封闭正整数集合，必然会包含从某个足够大的整数（称为Frobenius数）之后的所有整数。”

    nbsp“结合条件2，SSSnbsp中的元素都有下界nbspkkk，这意味着nbsp中的元素也有下界那么nbsp必然是形如nbsp{m0,m0+1,m0+2,…?}\{m_0,nbspm_0+1,nbspm_0+2,nbsp\dotsnbsp\}{m0,m0+1,m0+2,…}nbsp的形式，或者是一个有限集合（但这与加法封闭性以及包含所有足够大整数的性质似乎有矛盾，除非S本身就是某个数的倍数集）。”

    nbsp秦风的笔尖飞快地在纸上跳跃，一行行抽象的符号和逻辑推演，看得旁边偶尔瞥见的考生头皮发麻，感觉自己仿佛在看一本来自外星球的数学天书。

    nbsp“幺半群？理想？Frobenius数？这……这都是什么鬼东西？！”

    nbsp“我确定我参加的是高中数学竞赛，不是大学数学系的博士资格考试吗？”

    nbsp“妈妈，我想退赛！这个秦风根本就不是跟我们在一个次元比赛啊！”

    nbsp考场前排，那两位一直密切关注着秦风的监考老师，此刻已经彻底石化了。

    nbsp“老……老张……你……你看得懂他在写什么吗？”戴金丝眼镜的中年监考老师，声音都有些发颤，他指着秦风草稿纸上那些他只在大学选修抽象代数时才见过的符号，感觉自己的认知受到了毁灭性的冲击。

    nbsp经验丰富的老监考员张老师，此刻也是一脸的呆滞，他使劲揉了揉自己的眼睛，又扶了扶差点滑落的老花镜，喃喃道：“如果我没看错的话……他……他好像在用……在用代数结构理论……来分析这道数论题？”

    nbsp“这……这已经完全超出了高中竞赛的范畴了吧？！这……这简直是降维打击啊！”中年监考老师感觉自己的呼吸都有些困难了。

    nbsp他们原本以为，秦风能用一种巧妙的方法解出这道题，就已经很了不起了。却万万没想到，秦风居然……居然还在用更高级、更抽象的数学工具，对这道题进行着“花式吊打”！

    nbsp这已经不是“才情惊艳”了，这简直是“妖孽降世”！

    nbsp而在监控室内，钱卫国教授和几位数学出题组的核心专家，更是看得眼珠子都快瞪出来了。

    nbsp“数值半群理论？！他……他居然连这个都知道？！”一位主攻数论方向的老教授，激动得猛地从椅子上站了起来，指着屏幕上秦风草稿纸的特写，声音都有些变调了，“这个理论，在国内的本科数学教学中，都很少会涉及到！他一个高中生，是从哪里学来的？！”

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    nbsp“而且你们看他运用得多么娴熟自然！”另一位代数学专家也惊叹道，“他并不是在生搬硬套概念，而是真正理解了这些抽象理论背后的数学思想，并将其巧妙地应用到了具体的解题之中！这种洞察力……这种融会贯通的能力……简直是……是为数学而生的啊！”

    nbsp钱卫国教授端着茶杯的手，微微有些颤抖。他原本以为，秦风在集训队最终考核中的表现，已经是他实力的极限了。却没想到，这个少年，居然还隐藏着如此深不可测的数学才华！

    nbsp“一题多解……而且每一种解法，都展现出不同层面的数学思想……”钱教授喃喃自语，眼神中充满了前所未有的震撼与……狂喜！

    nbsp这样的天才，多少年才能出一个啊！

    nbsp华夏数学的未来，或许真的要在这个少年身上，绽放出耀眼的光芒！

    nbsp而此刻的秦风，在完成了第二种基于抽象代数思想的解法后，依旧意犹未尽。

    nbsp他看着草稿纸上那两种截然不同却又殊途同归的解题路径，脸上露出了一个孩子般纯粹而满足的笑容。

    nbsp“真有意思……数学的世界，果然是无穷无尽的宝藏啊。”

    nbsp他抬起手腕，看了一眼手表，距离考试开始才过去不到一个小时。

    nbsp时间，还非常充裕。

    nbsp他的目光，再次投向了那道似乎已经被他“榨干”了所有价值的第一题，眼神中，却又闪过了一丝新的……跃跃欲试。

    nbsp“或许……还可以从几何的角度，来审视一下这个集合的结构？”

    nbsp一个更加大胆，也更加……“离经叛道”的想法，开始在他的脑海中悄然萌发。

    nbsp他拿起笔，准备在草稿纸上，开辟第三个“战场”！

    nbsp整个考场，除了秦风笔尖划过纸张的“沙沙”声，以及少数几人还在苦苦挣扎的叹息声，几乎陷入了一片诡异的沉寂。

    nbsp大部分考生，在经历了第一题那“地狱级”的开局后，已经彻底放弃了抵抗，开始用各种方式“摆烂”或者“怀疑人生”。

    nbsp他们偶尔抬起头，看到秦风依旧在那里奋笔疾书，而且……还在用不同的方法解同一道题？！

    nbsp那种感觉，就像是一群正在新手村被小野猪追得满地跑的菜鸟玩家，突然看到一个满级大佬，不仅瞬秒了最终BOSS，还在BOSS的尸体上跳起了华尔兹，顺便用BOSS的骨头给自己打造了一套限量版时装……

    nbsp绝望！

    nbsp无尽的绝望！

    nbsp“人与人之间的差距，怎么就这么大呢？”

    nbsp“我感觉我参加的不是数学竞赛，而是秦风大神的个人才艺展示会……”

    nbsp“妈妈，我想转学去秦风他们学校，给他当个拎包小弟，每天瞻仰一下学神的光辉，说不定也能开开窍……”

    nbsp各种饱含血泪的吐槽，在考生们的心中疯狂刷屏。

    喜欢。

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